Wiskundige ontdekt bijzondere achtvlakkige vorm

Een wiskundige heeft een vreemde achtvlakkige vorm ontdekt waarvan elk vlak alle andere vlakken raakt. Volgens de bedenker kan deze vorm daadwerkelijk in de echte wereld bestaan.

Wiskundigen kunnen allerlei abstracte geometrische vormen bedenken door te beschrijven welke hoekpunten, randen en vlakken met elkaar verbonden zijn. Maar uitzoeken of zo’n recept voor een vorm ook daadwerkelijk een object oplevert dat in een echte, driedimensionale ruimte kan bestaan, is behoorlijk lastig. Zo’n vorm kan bijvoorbeeld spaak lopen als delen elkaar in de echte wereld zouden kruisen waar dat niet de bedoeling is.

Ontwerpingenieur Ruslan Mizhaev heeft nu een veelvlak bedacht met ‘geslacht 3’ – een wiskundige term voor een oppervlak met drie gaten – dat bestaat uit acht platte, negenhoekige vlakken. Het heeft 24 hoekpunten en 36 randen. Op elk hoekpunt komen drie vlakken samen.

LEES OOK

'Ons brein is quantum'

Natuurkundige Cristiane de Morais Smith is helemaal thuis in de vreemde wereld ...

Grensgeval

‘Er zijn acht vlakke, veelhoekige vlakken, en elk vlak grenst via een rand aan alle zeven andere’, zegt Mizhaev. ‘Samen vormen ze een gesloten oppervlak met drie ‘handvatten’.’

Een handvat is een begrip uit de topologie, de tak van de wiskunde die de eigenschappen bestudeert van objecten die hetzelfde blijven als je ze uitrekt, verdraait of samendrukt. Een handvat is in wezen een gat of tunnel door een oppervlak. Een donut heeft bijvoorbeeld één handvat.

Het object doet wat denken aan een tetraëder (een regelmatig viervlak) of het zogeheten veelvlak van Szilassi. Deze vormen bestaan ook uit vlakken die allemaal aan elkaar grenzen. De nieuwe vorm van Mizhaev doet hier een schepje bovenop: sommige vlakken delen zelfs twee randen, in plaats van één.

Puzzelstukje

Mizhaev zegt dat hij de vondst bij toeval deed, toen hij experimenteerde met veelvlakken in computer-aided design-software. Met dit soort programma’s kunnen ontwerpers twee- en driedimensionale modellen maken, analyseren en aanpassen.

De onderliggende structuur is niet nieuw – Mizhaev beschreef deze al in 2020. Maar nu heeft hij de vorm beter vastgelegd door aan elk van de 24 hoekpunten een coördinaat toe te kennen. Ook heeft hij vergelijkingen opgesteld waarmee wiskundigen de vorm kunnen controleren: ze kunnen nagaan of de vlakken wel echt vlak zijn, of het oppervlak dicht is en of er delen zijn die elkaar per ongeluk snijden.

Wiskundige Lars Schewe van de Universiteit van Edinburgh in het Verenigd Koninkrijk noemt de ontdekking interessant, maar zegt dat we die moeten zien als een stukje van een grotere puzzel, in plaats van als een geheel nieuwe uitvinding. ‘Het is meer een klein puzzelstukje dat we nog niet hadden’, zegt Schewe. Het resultaat volgt netjes de bestaande wiskunde, maar ‘het construeren is een moeilijke taak geweest’, stelt hij.

AI-hulpje

Een reden waarom het zo moeilijk is om zulke vormen te maken, is dat er geen gebaand pad is om dit te doen. Je kunt proberen een enorme reeks vergelijkingen op te stellen die specificeren waar elk hoekpunt ligt en hoe alle vlakken in elkaar moeten passen, maar dat is al snel praktisch onoplosbaar, zegt Schewe. De meeste wiskundigen vertrouwen in plaats daarvan op de computer, op hun geometrische intuïtie of zelfs op fysieke modellen.

Mizhaev gebruikte AI-chatbot ChatGPT om de nieuwe versie van zijn vorm in elkaar te zetten en om na te rekenen of de resulterende figuur klopte. Maar hij zegt dat hij de oorspronkelijke vorm, die hij in 2020 bedacht, zelf heeft gemaakt – in die tijd gebruikte hij ChatGPT nog niet.

Schewe is gefascineerd door de kloof tussen het beschrijven van een vorm – door op papier te zetten welke delen met elkaar zijn verbonden – en het daadwerkelijk bouwen ervan. ‘Ik kan je vertellen wat de regels zijn, maar als ik hem probeer te bouwen en te tekenen, lukt me dat niet.’

Over de auteur